Torricelli

Per poter trovare la velocità di uscita del fluido dal contenitore, ovvero quella descritta dalla Legge di Torricelli, bisogna considerare valida la relazione stabilita dall’equazione di Bernoulli tra il punto iniziale, ovvero la superficie del fluido, ed il punto finale, quello appena esterno al recipiente. Abbiamo così l’equazione:

\displaystyle {{p}_{i}}+\frac{1}{2}\rho v_{i}^{2}+\rho g{{h}_{i}}={{p}_{f}}+\frac{1}{2}\rho v_{f}^{2}+\rho g{{h}_{f}}

In entrambi i punti la pressione è pari alla pressione atmosferica, quindi \displaystyle {{p}_{i}}\displaystyle {{p}_{f}} possono essere eliminati dall’equazione. Inoltre, la velocità nel punto iniziale è trascurabile, pertanto \displaystyle \frac{1}{2}\rho v_{i}^{2} risulta nullo. Possiamo inoltre notare che l’altezza del punto iniziale è data dalla somma dell’altezza del foro e del dislivello tra i due punti Δh, scomponendo \displaystyle \rho g{{h}_{i}}=\rho g{{h}_{f}}+\rho g\Delta {{h}_{{}}} ed eliminando di conseguenza \displaystyle \rho g{{h}_{f}} da entrambi i membri. L’equazione semplificata risultante è:

\displaystyle \rho g\Delta {{h}_{{}}}=\frac{1}{2}\rho v_{f}^{2}

Semplificando ρ e ricavando \displaystyle {{v}_{f}} otteniamo:

\displaystyle {{v}_{f}}=\sqrt{2g\Delta h}

La velocità del fluido nel punto immediatamente esterno al foro è pertanto pari alla velocità che avrebbe avuto il fluido cadendo dalla stessa altezza della superficie del fluido. Pertanto, se dirigiamo il getto del fluido verso l’alto, possiamo notare che l’altezza massima raggiunta dal fluido è pari all’altezza della superficie del fluido all’interno del recipiente, ad ulteriore riprova della conservazione dell’energia.

Questa velocità si mantiene costante solamente assumendo che la velocità della diminuzione del livello del fluido nel recipiente sia trascurabile, ovvero che si abbia un foro molto piccolo in un recipiente molto grande; in caso contrario la velocità del fluido uscente diminuisce progressivamente e questa equazione indica solamente tale velocità in un determinato istante.