Pendolo

Il pendolo semplice è una struttura formata da una massa appesa ad un’asta o ad un filo di massa trascurabile. Quando viene applicata una forza alla massa, essa oscilla attorno al suo punto di equilibrio, in cui la posizione dell’asta o del filo è perfettamente verticale e di conseguenza la massa è all’altezza minima: anche in questo caso, come in quello dell’oscillazione di una massa agganciata ad una molla, il moto della massa è di natura armonica.

pendolo_spiegazione1

Esaminiamo il caso presentato nell’immagine di un pendolo semplice composto da un’asta di lunghezza L che sostiene una massa m. Al momento la massa non si trova nel punto d’equilibrio: l’asta ha infatti un’inclinazione θ rispetto alla direzione verticale assunta nel punto d’equilibrio. La componente verticale dell’altezza risulta essere \displaystyle L\cos \theta , la differenza rispetto all’altezza del punto d’equilibrio sarà pertanto \displaystyle \Delta h=L-L\cos \theta =L(1-\cos \theta ). Ora, poiché il punto di equilibrio è il punto di altezza minore, l’energia totale in questo punto è totalmente cinetica, mentre quella potenziale è nulla; ergo, l’energia potenziale del pendolo in un punto qualsiasi con l’inclinazione dell’asta θ sarà:

\displaystyle U=mg\Delta h=mgL(1-\cos \theta )

Da ciò è possibile verificare come il moto di un pendolo sia di natura armonica paragonandolo a quello di una molla a cui è agganciata una massa.

molla-pendolo

Confrontando i grafici dell’energia potenziale dei due moti, possiamo notare che essi tendono a coincidere quando l’angolo θ è inferiore a 22,5°: pertanto il moto per tali angolazioni può essere considerato armonico.

Ora che abbiamo verificato la natura del moto del pendolo, occupiamoci del ricavare il periodo di questo moto.


pendolo_spiegazione2

Consideriamo ora la forza-peso della massa mg e, come mostrato nella figura,  identifichiamo le sue componenti: quella parallela alla direzione dell’asta e quella perpendicolare ad essa, che avranno un rispettivo valore di mgcosθ e mgsenθ. Quest’ultima in particolare, che ha il verso rivolto sempre verso il punto d’equilibrio, è quella responsabile del moto; si tratta perciò di una forza di richiamo, esattamente come quella tipica delle molle kΔx , che poniamo ad essa uguale:

\displaystyle F=mg\sin \theta =k\Delta x


Secondo l’immagine, Δx corrisponde allo spazio che la massa deve percorrere per giungere al punto d’equilibrio, pari all’arco di circonferenza l. Inoltre, possiamo considerare θ uguale al suo seno, poiché per angoli inferiori a 22,5° i due valori quasi coincidono. Ancora, poiché \displaystyle l=L\theta , θ può essere visto come\displaystyle \frac{l}{L}.

La formula sarà dunque:

\displaystyle mg\frac{l}{L}=kl

\displaystyle k=\frac{mg}{L}

Ottenuto il valore di k ed avendo constatato che il pendolo oscilla con moto armonico, possiamo inserire k nell’espressione del periodo del moto armonico, dimostrata nella trattazione sulle molle:

\displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{m}{\frac{mg}{L}}}=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}

Possiamo notare, quindi, che il periodo d’oscillazione del pendolo non dipende né dalla sua massa, né dalla sua ampiezza, ma soltanto dalla sua lunghezza e, curiosamente per essere un moto armonico, dall’accelerazione di gravità; ciò vuol dire che su un altro pianeta, o più semplicemente salendo (o scendendo) considerevolmente di quota, il periodo varia; ciò è intuibile dal fatto che il movimento non è completamente orizzontale e perciò la gravità varia la sua velocità. E’ degno di nota anche il fatto che la massa non influenza il periodo, come similmente non influenza la caduta libera di un corpo: se al crescere della massa aumenta la forza con cui la gravità attrae il corpo, allo stesso modo aumenta l’inerzia, ovvero la resistenza agli stimoli delle forze esterne: esse, dunque, si compensano. Allo stesso modo si compensano la distanza che aumenta all’aumentare dell’ampiezza e la velocità che acquisisce iniziando il suo moto da una maggior altezza.