Momento torcente

Supponiamo di voler svitare un bullone: sappiamo per istinto che  facciamo meno sforzo per svitarlo se esercitiamo una forza presso l’estremità della chiave inglese. In generale, facciamo meno sforzo se esercitiamo una forza il più lontano possibile dal fulcro intorno al quale ruota l’oggetto: nell’esempio precedente l’oggetto era la chiave inglese e il fulcro era il bullone. Risulta perciò utile definire una nuova grandezza chiamata momento torcente M, che coniughi l’intensità della forza F e la distanza dal fulcro (o asse di rotazione). Nell’applet sopra vediamo che, se diminuiamo l’intensità della forza, avremo un momento torcente minore, mentre, se vogliamo mantenere il momento torcente costante mentre applichiamo una forza più vicina al fulcro, dovremo aumentare l’intensità di quest’ultima.

\displaystyle M=rF

Nel SI si misura in N·m (newton per metri, con significato totalmente diverso dal lavoro newton·metri = joule)

Tuttavia questa equazione è valida solo se la forza è applicata tangenzialmente all’asse di rotazione: infatti se tirassimo una porta lateralmente la porta non si aprirebbe (ovvio). Quindi, la componente radiale della forza che applica il momento torcente produce un momento nullo, mentre è la componente tangenziale che produce il momento torcente. Ragion per cui possiamo scomporre la forza nei suoi componenti e possiamo dare la definizione generale di momento torcente anche quando essa forma un angolo diverso da 90° (momento torcente massimo).

Il momento torcente, quindi, implica anche una variazione del moto angolare di un oggetto, causando un’accelerazione angolare.

Consideriamo, per esempio, un piccolo oggetto di massa m, collegato all’asse di rotazione mediante un’asta di lunghezza r, di massa trascurabile. Applicando una forza tangenziale di intensità F alla massa, questa incomincerà a muoversi con un’accelerazione data dalla seconda legge di Newton, F = ma. Sappiamo inoltre che l’accelerazione tangenziale a e l’accelerazione angolare α sono legate dalla relazione \displaystyle \alpha =\frac{a}{r}
Combinando queste due relazioni abbiamo che:

\displaystyle \alpha =\frac{a}{r}=\frac{F}{mr}

Moltiplicando il numeratore e il denominatore per r :

\displaystyle \alpha =\frac{F}{mr}\cdot \frac{r}{r}=\frac{Fr}{mr_{{}}^{2}}

e quindi:

\displaystyle \alpha =\frac{Fr}{mr_{{}}^{2}}=\frac{M}{I}

Il numeratore rF è il momento torcente mentre il denominatore è il momento di inerzia dell’oggetto. Riordinando:

\displaystyle M=I\alpha

mtorc1


Perciò, una volta calcolato il momento torcente, possiamo determinare l’accelerazione angolare α di un sistema con l’equazione sopra. In particolare, osserviamo che l’accelerazione angolare è direttamente proporzionale al momento torcente e inversamente all’inerzia. Anche se la relazione è stata calcolata con il caso particolare di una massa, vale in generale per qualsiasi oggetto, solo che M è sostituito da ΣM, ossia la somma dei momenti torcenti che agiscono sull’oggetto.