Momento angolare

Se un oggetto si muove in linea retta con velocità v e massa m, diciamo che ha una quantità di moto pari a \displaystyle p=mv. In analogia con la quantità di moto, lo stesso oggetto che si muove di moto circolare uniforme con una velocità angolare ω su una traiettoria circolare di raggio r . In questo caso diciamo che l’oggetto ha un momento angolare, o momento della quantità di moto. Ricaviamo L, appunto il momento angolare, sostituendo le grandezze m e v con le corrispettive grandezze del moto circolare I (momento d’inerzia) e ω, la velocità angolare.

\displaystyle L=I\omega

Questa definizione è vera per qualsiasi oggetto, che sia una particella puntiforme oppure un disco o una sfera.

velocità + cerchio

 

Consideriamo ad esempio la particella puntiforme nella figura accanto a sinistra: siccome il suo momento di inerzia è \displaystyle I=mr_{{}}^{2} e la sua velocità tangenziale è \displaystyle v=r\omega  abbiamo che:

\displaystyle L=I\omega =mr_{{}}^{2}\frac{v}{r}=rmv

Poi, siccome \displaystyle mv=p, osserviamo che L può anche essere riscritto nella forma \displaystyle L=rp. Tuttavia, questo vale solo se la particella si muove di moto circolare lungo una circonferenza. Più in generale, dobbiamo considerare una particella il cui moto forma un angolo θ rispetto alla direzione radiale. In questo caso è solo la componente tangenziale della quantità di moto che contribuisce al momento angolare. Ragion per cui l’intensità del momento angolare per una particella che forma un angolo θ con la direzione radiale viene espressa come \displaystyle L=rmv\sin \theta . Nel caso in cui θ=90° l’ intensità del momento angolare è massima mentre è nulla per θ=0°.

 

Prendiamo ora in considerazione la variazione del momento angolare in un intervallo di tempo:

\displaystyle \frac{\Delta L}{\Delta t}=I\frac{\Delta \omega }{\Delta t}

Siccome poi \displaystyle \frac{\Delta \omega }{\Delta t}=\alpha , abbiamo che:

\displaystyle \frac{\Delta L}{\Delta t}=I\alpha

Il secondo membro di quest’ equazione è il momento torcente, per cui la seconda legge di Newton può anche essere scritta nel modo seguente:

\displaystyle \sum\limits_{{}}^{{}}{M}=I\alpha =\frac{\Delta L}{\Delta t}

Da notare è anche l’ analogia con l’ equazione \displaystyle \sum\limits_{{}}^{{}}{F}=ma=\frac{\Delta p}{\Delta t} : così come una forza  si può esprimere come una variazione della quantità di moto di un determinato oggetto, il momento torcente si può esprimere come variazione del momento angolare.

Ora vedremo l’ importanza della conservazione momento angolare, dal moto di una pattinatrice che avvicina le sue braccia al corpo al moto di una stella che collassa espellendo materia nello spazio e quindi riducendo il suo momento d’inerzia: in entrambi i casi la velocità angolare aumenta, come conservazione appunto del momento angolare. Abbiamo già visto prima che:

\displaystyle M=\frac{\Delta L}{\Delta t}

e quindi possiamo ricavare ΔL:

\displaystyle \Delta L={{L}_{f}}-{{L}_{i}}=M\Delta t

Il momento angolare dell’ oggetto è perciò:

\displaystyle {{L}_{f}}={{L}_{i}}+M\Delta t

Quindi se il momento torcente totale agente sull’ oggetto è uguale a zero (ΣM=0), il momento angolare si conserva:

\displaystyle {{L}_{f}}={{L}_{i}}

Infine dalla definizione di momento angolare \displaystyle L=I\omega ,

\displaystyle {{I}_{f}}{{\omega }_{f}}={{I}_{i}}{{\omega }_{i}}

Per ΣM intendiamo in realtà la sommatoria dei momenti agenti esterni: infatti tutti i momenti torcenti interni agiscono come coppie di azione-reazione uguali e opposte che si annullano a vicenda. Ecco perchè non consideriamo mai i momenti torcenti interni bensì solo la risultante dei momenti torcenti esterni.