Moto Armonico: le Equazioni

Definire la Posizione

Consideriamo ora un oggetto di  massa M su un carrello libero di muoversi senza attrito e attaccato a una molla, se “tiriamo” la molla di una determinata lunghezza x secondo la legge di Hooke la forza esercitata dalla molla sarà \displaystyle F=-kx dove il “-” indica che la direzione della forza è verso il centro di equilibrio. Quando lasciamo andare la molla noteremo che il corpo andrà verso la posizione iniziale ma quando l’avrà raggiunta continuerà la sua corsa sino a fermarsi e cambiare la sua direzione nuovamente per andare verso il punto di equilibrio e, potenzialmente, continuerebbe così all’infinito se non entrassero in gioco forze come l’attrito e se disponessimo di molle perfette…
Immaginiamo ora di attaccare una penna alla massa cosicché lasci una traccia e trasciniamo il foglio (tipo elettrocardiogramma) in modo da avere un’idea di cosa succede nel tempo: noteremo che verrà a definirsi una sinusoide la cui ampiezza \displaystyle {A} è data da quanto abbiamo deciso di “tirare” la molla ovvero \displaystyle x. Diremo che essa è pertanto un moto periodico poichè si ripete periodicamente secondo un periodo \displaystyle T che possiamo assumere come il tempo che intercorre tra una cresta e l’altra (nel modello i periodi sono divisi da linee tratteggiate per sottolineare la ripetitività sempre uguale della stessa sequenza).

 

Osservando che la posizione dell’oggetto si trova su una (co)sinusoide possiamo cercare di definire il suo moto aiutandoci con una circonferenza goniometrica.

motoArmonicoVcc1Consideriamo una massa puntiforme che giri attorno a una circonferenza di raggio r, la velocità tangenziale sarà {v} mentre l’angolo \displaystyle \theta è congruente come mostrato in figura a \displaystyle {{\theta }_{1}} poichè alterni interni, mentre \displaystyle {{\theta }_{1}} è congruente a \displaystyle {{\theta }_{2}} perchè complementari allo stesso angolo: ne consegue quindi che tutti e tre gli angoli segnati in arancione sono congruenti tra loro. La posizione di C rispetto all’asse x è  data pertanto dal raggio (che è anche  l’ampiezza) moltiplicato per il coseno di \displaystyle \theta .

La nostra incognita è quindi \theta, trovato l’angolo potremo determinare la posizione del punto nello spazio.
Data l’equazione per determinare lo spazio conoscendo una velocità costante e il tempo impiegato

\displaystyle S=v\cdot t

dividiamo entrambi i membri per il raggio…

\displaystyle \frac{S}{r}=\frac{v\cdot t}{r}

…e, ricordando che il rapporto tra velocità e raggio non è altro che la velocità angolare…

\displaystyle \frac{v}{r}=\omega

…che la lunghezza di un segmento circolare è data inoltre dal raggio per l’angolo al centro e che quindi dividendo la lunghezza di un segmento circolare per il raggio ricaviamo l’angolo al centro, arriviamo alla seguente conclusione:

\displaystyle \frac{S}{r}=\theta =\omega \cdot t

Possiamo ora definire l’equazione dello spazio sfruttando le nuove conoscenze acquisite come

{{C}_{X}}=A\cos (\omega t)

La Velocità

Cerchiamo ora di definire la velocità: la componente parallela all’asse x della velocità è data da \displaystyle -\overrightarrow{v}sen\theta mentre theta è dato dalla velocità angolare per il tempo, come dimostrato in precedenza (\displaystyle \theta =\omega \cdot t), se ora sostituiamo  \displaystyle \overrightarrow{v}=\omega \cdot A otteniamo che l’equazione della velocità nel moto armonico è

\displaystyle {{v}_{x}}=-\omega \cdot A \cdot sen(\omega t)

d’ora in poi per comodità scriveremo \displaystyle v al posto di \displaystyle {{v}_{x}} e ci riferiremo alla velocità tangenziale con \displaystyle {{v}_{t}}

L’accelerazione

Per definire le equazioni fondamentali del moto armonico manca ormai solo più l’accelerazione: ma quali forze di accelerazione agiscono su un corpo che si muove definendo un moto armonico?motoArmonicoACC

Ogni corpo che ruota attorno a un punto è influenzato dall’accelerazione centripeta che è data dal quadrato della velocità tangenziale fratto il raggio della circonferenza:

\displaystyle {{a}_{cp}}=\frac{v_{{t}}^{2}}{r}

Quindi sostituendo alla velocità tangenziale la velocità angolare moltiplicata per il raggio, il quale è anche l’ampiezza, ne risulta che:

\displaystyle {{a}_{cp}}=\frac{\omega _{{}}^{2}\cdot r_{{}}^{2}}{r}=\omega _{{}}^{2}A

Se poi consideriamo solo la sua componente parallela all’asse x, così come abbiamo fatto per la velocità, dovremo moltiplicare l’accelerazione centripeta per il coseno di teta cambiato di segno ovvero

\displaystyle a=-\omega _{{}}^{2}A\cdot \cos \theta