Keplero

L’ astronomo Tycho Brahe aveva seguito per molti anni le traiettorie di molti pianeti, e soprattutto quella di Marte. A quei tempi il telescopio non era stato ancora inventato e quindi, per tracciare le orbite dei pianeti, lo scienziato migliorò gli strumenti già esistenti e ne creò di nuovi. Il suo più efficiente collaboratore ed allievo fu Giovanni Keplero, che, alla morte di Brahe, entrò in possesso dei dati accuratamente raccolti dal maestro e giunse a formulare le tre leggi del moto orbitale, oggi note con il nome di leggi di Keplero. Queste leggi confermavano la teoria eliocentrica proposta circa un secolo prima da Niccolò Copernico, a sfavore della teoria geocentrica sostenuta dall’ astronomo greco Tolomeo.

Tuttavia, neanche Keplero stesso sapeva perchè i pianeti seguivano tali leggi: la spiegazione fu data da Newton, che dimostrò che le leggi di Keplero erano una conseguenza della legge di gravitazione universale.

Prima legge di Keplero

“I pianeti seguono delle orbite ellittiche con il Sole in uno dei due fuochi dell’ ellisse”
 

Anche se Keplero desiderava trovare orbite ellittiche, non ignorò i dati raccolti da Tycho Brahe. Infatti, se le osservazioni del maestro non fossero state così minuziosamente accurate, Keplero avrebbe probabilmente pensato che erano errori quelle differenze tra i dati e le orbite circolari. A Keplero va quindi riconosciuto il merito di aver saputo abbandonare una teoria consolidata ma sbagliata, in cui lui credeva fortemente, e di essersi indirizzato verso una visione inaspettata della natura, ma in fondo corretta.

Seconda legge di Keplero

“Un pianeta, muovendosi sulla sua orbita ellittica, spazza aree uguali in tempi uguali”
 

La seconda legge di Keplero è un’ ovvia conseguenza del fatto che il momento torcente della forza gravitazionale tra Sole e Terra è nullo, in quanto quest’ ultima è diretta verso il Sole, e quindi il momento angolare si deve conservare. Ad esempio siccome la distanza tra la Terra e il Sole è minima, ne consegue che la sua velocità è massima. Questo discorso vale in generale per ogni corpo che orbiti intorno al Sole: una cometa che si trova vicino al Sole si muove molto velocemente e spazza una regione larga e corta, mentre quando è lontana la sua velocità è minore e spazza una regione lunga e stretta: comunque le due regioni hanno la stessa area.

Terza legge di Keplero

La terza legge di Keplero permette di calcolare il tempo che un oggetto impiega per completare un’orbita in funzione della distanza tra l’oggetto e il centro di massa dell’oggetto macroscopico. Anche se all’inizio c si aspettava di trovare una diretta relazione tra la distanza e il periodo, ci si accorse che il periodo non cresceva in modo sufficiente. Per contro, la curva che implicava una distanza elevata al quadrato cresceva in modo esponenziale troppo velocemente. Tentando con il valore medio, che era in accordo con i risultati sperimentali, Keplero giunse a formulare la terza legge:

“Il periodo T di rivoluzione di un pianeta che orbita intorno al Sole è proporzionale alla distanza media del pianeta dal Sole elevata alla 3/2”
 
\displaystyle T=kr_{{}}^{\frac{3}{2}} 
 

K è una costante che varia al variare della massa del corpo macroscopico intorno a cui orbita un oggetto molto più piccolo, e questa costante non dipende dalla massa del secondo oggetto: per esempio un oggetto di massa 5 kg e un oggetto di massa 500 kg che orbitano alla stessa distanza dal centro di massa della Terra hanno lo stesso periodo di rivoluzione.  Lo stesso periodo di rivoluzione della Terra, che sappiamo essere un anno, non dipende affatto dalla massa del nostro pianeta, ma solo dalla massa del Sole e dalla distanza appunto tra la Terra e il Sole.

Ecco la dimostrazione relativa alla terza legge di Keplero (relativa al periodo di corpi che orbitano intorno al Sole):

Il primo passaggio è porre la forza centripeta uguale alla  forza gravitazionale, in modo che il pianeta rimanga in orbita:

\displaystyle {{F}_{G}}=G\frac{m{{M}_{S}}}{r_{{}}^{2}}

\displaystyle {{F}_{cp}}=m\frac{v_{{}}^{2}}{r}

\displaystyle m\frac{v_{{}}^{2}}{r}=G\frac{m{{M}_{S}}}{r_{{}}^{2}}     [1]

Ora, siccome il corpo deve percorrere una distanza pari alla circonferenza che ha come raggio la distanza tra il corpo e il Sole:

\displaystyle vT=2\pi r

 

E, ricavando la velocità in funzione del periodo e del raggio:

\displaystyle v=\frac{2\pi r}{T}     [2]

Ora, sostituendo la velocità nell’ equazione [2] nell’ equazione [1] abbiamo che:

\displaystyle \frac{4\pi _{{}}^{2}rm}{T_{{}}^{2}}=G\frac{m{{M}_{S}}}{r_{{}}^{2}}

Da questa equazione ricaviamo, semplificando la massa:

\displaystyle T_{{}}^{2}=\frac{4\pi _{{}}^{2}}{GM_{S}^{{}}}r_{{}}^{3}

ossia:

\displaystyle T=\left( \frac{2\pi }{\sqrt{GM_{S}^{{}}}} \right)r_{{}}^{\frac{3}{2}}=kr_{{}}^{\frac{3}{2}},{{_{{}}^{{}}}^{{}}}k=\frac{2\pi }{\sqrt{GM_{S}^{{}}}}

Per trovare il periodo di un corpo che orbita intorno a un corpo più grande basta quindi sostituire in k la massa del corpo più grande e poi la distanza dell’ oggetto più piccolo dal centro di massa di quello più grande elevata alla 3/2.