Interferenza

Finora abbiamo studiato casi che presentano una sola onda; ma cosa succede quando due onde si incontrano?

Quando due onde si incontrano, se sono di piccola ampiezza, avviene il fenomeno della sovrapposizione: più semplicemente, si sommano. Prendendo due onde generiche si avrà:

\displaystyle {{y}_{tot}}={{y}_{1}}+{{y}_{2}}

Esaminiamo ad esempio una corda. Se si agita la corda da un capo per formare un’onda e lo stesso viene fatto dall’altra parte, le due onde viaggeranno in senso contrario; quando la loro posizione inizierà a coincidere, si formerà un’onda uguale alla somma delle due singole onde; dopodiché, ogni onda continuerà per la sua strada, come se non fosse successo nulla. Da questo deduciamo che la combinazione tra due onde non altera in alcun modo né l’una né l’altra onda.

Su queste combinazioni si possono effettuare alcune particolari considerazioni.  Riprendendo l’esempio degli impulsi sulle corde, quando entrambi gli impulsi sono positivi (o negativi), vi sarà un momento durante la sovrapposizione in cui l’onda che viene a formarsi ha ampiezza pari alla somma delle singole ampiezze dei due impulsi; questo tipo di interferenza prende il nome di interferenza costruttiva.

Quando ad incontrarsi sono un impulso positivo ed uno negativo, vi sarà similmente un momento in cui l’ampiezza dell’onda risultante è pari alla differenza dei due impulsi: in questo caso parliamo di interferenza distruttiva. Si può riscontrare un particolare tipo di interferenza distruttiva quando i due impulsi hanno ampiezza uguale: vi sarà un momento in cui gli impulsi si annulleranno vicendevolmente.

Ora cerchiamo di trovare un modo per identificare i punti di interferenza costruttiva e distruttiva. Prendiamo due onde identiche ma con diversa origine che si sovrappongono in un punto qualsiasi P; la prima onda sarà espressa in funzione di un angolo ωt e la seconda onda con un angolo maggiore di α rispetto a ωt (ricordiamo che \displaystyle \omega =\frac{2\pi }{T}):

\displaystyle {{\psi }_{1}}=A\cos (\omega t)

\displaystyle {{\psi }_{2}}=A\cos (\omega t+\alpha )

A questo punto sommiamo le due funzioni d’onda, ricordando la formula di prostaferesi per la somma dei coseni
\displaystyle \cos {{\theta }_{1}}+\cos {{\theta }_{2}}=2\cos \left( \frac{{{\theta }_{1}}+{{\theta }_{2}}}{2} \right)\cos \left( \frac{{{\theta }_{1}}-{{\theta }_{2}}}{2} \right) :

\displaystyle {{\psi }_{1}}+{{\psi }_{2}}=A\left[ \cos (\omega t)+\cos (\omega t+\alpha ) \right]=2A\cos \left( \omega t+\frac{\alpha }{2} \right)\cos \left( -\frac{\alpha }{2} \right)

\displaystyle {{\psi }_{1}}+{{\psi }_{2}}=2A\cos \frac{\alpha }{2}\cdot \cos \left( \omega t+\frac{\alpha }{2} \right)

Possiamo notare che il fattore \displaystyle 2A\cos \frac{\alpha }{2} , costante in quanto non dipende dall’angolo ωt, è A’, l’ampiezza dell’onda risultante. Ora cerchiamo di ricavare i valori di α per i quali questo fattore assume il valore massimo e minimo (notare che nel caso A’=-1 l’onda risulta avere la stessa ampiezza del caso A’=1, pertanto si considererà il valore assoluto di A’):

Esso è massimo con \displaystyle \alpha =2k\pi ,\forall k\in {Z}

Esso è minimo con \displaystyle \alpha =(1+2k)\pi ,\forall k\in {Z}

Ora lasciamo momentaneamente da parte questi due risultati e consideriamo le medesime funzioni d’onda, esprimendo il loro valore nel punto P:

\displaystyle {{\psi }_{1}}=A\cos \left[ 2\pi \left( \frac{{{x}_{1}}}{\lambda }-\frac{t}{T} \right) \right]

\displaystyle {{\psi }_{2}}=A\cos \left[ 2\pi \left( \frac{{{x}_{2}}}{\lambda }-\frac{t}{T} \right) \right]

A questo punto cerchiamo la differenza tra gli argomenti dei coseni di queste due funzioni d’onda, ricordando che nella forma precedente la differenza tra essi era α. Se poniamo \displaystyle {{x}_{2}}={{x}_{1}}+\Delta x , possiamo notare che gli argomenti dei coseni delle funzioni

\displaystyle {{\psi }_{1}}=A\cos \left[ 2\pi \left( \frac{{{x}_{1}}}{\lambda }-\frac{t}{T} \right) \right]

\displaystyle {{\psi }_{2}}=A\cos \left[ 2\pi \left( \frac{{{x}_{1}+\Delta x}}{\lambda }-\frac{t}{T} \right) \right]

differiscono di \displaystyle \frac{2\pi \Delta x}{\lambda }; poniamo tale quantità uguale ad α e ricaviamo Δx in funzione di λ.

Avremmo due differenti situazioni, a seconda che si voglia avere A’ massimo o minimo. Dalle precedenti considerazioni sull’interferenza costruttiva e distruttiva, possiamo dedurre che quando A’ ha valore massimo l’interferenza è costruttiva, mentre quando A’ ha valore minimo l’interferenza è distruttiva.

Per A’ massimo, si avrà \displaystyle \frac{2\pi \Delta x}{\lambda }=2k\pi e quindi \displaystyle \Delta x=k\lambda ,\forall k\in Z per avere interferenza di tipo costruttivo.

Per A’ minimo, si avrà \displaystyle \frac{2\pi \Delta x}{\lambda }=\left( 2k+1 \right)\pi e quindi \displaystyle \Delta x=\frac{2k+1}{2}\lambda ,\forall k\in Z per avere interferenza di tipo distruttivo.

Pertanto abbiamo dedotto che si avrà interferenza costruttiva quando la differenza di percorso Δx è un multiplo pari di metà lunghezza d’onda, distruttiva quando è un multiplo dispari dello stesso valore.

Se due sorgenti puntiformi emettono creste d’onda negli stessi istanti esse si dicono in fase. Quando due sorgenti puntiformi sono in fase ed emettono onde sonore con propagazione sferica, i punti in cui esse fanno interferenza costruttiva con k costante, se collegati, formano iperboli; lo stesso accade con l’interferenza distruttiva.

interferenza

Nell’immagine le creste delle onde sono rappresentate con le circonferenze a tratto continuo, mentre i ventri delle onde con le circonferenze tratteggiate; le interferenze costruttive (iperboli a tratto continuo) si verificano ove si incontrano due circonferenze con lo stesso tratto, mentre quelle distruttive (iperboli tratteggiate) si trovano all’incontro di circonferenze dal tratto opposto. Le due rette che si vengono a formare in figura sono due casi di iperbole degenere.

D’altronde per tutti i punti in cui la differenza di percorso è e k è fisso, la differenza di percorso è costante; ma se proviamo a costruire il luogo geometrico dei punti la cui differenza delle distanze tra due punti fissi è costante, otteniamo proprio un’iperbole.