I battimenti

In un precedente sottocapitolo è stato trattato l’argomento dell’interferenza tra due onde. Ora tratteremo una caratteristica tipica delle interferenze delle onde sonore: il battimento.

Quando due onde sonore con frequenza differente si incontrano in un punto, esse si sommano come di consueto; l’onda risultante è rappresentata in figura.

E’ possibile notare come l’onda risultante abbia una frequenza molto elevata e un’ampiezza variabile. Se si collegano i vari picchi della funzione, il risultato è una funzione d’onda che mostra il variare dell’ampiezza con una determinata frequenza di comparsa del valore di ampiezza massima: tale frequenza è detta frequenza di battimento.

Una caratteristica che notiamo facilmente di tale frequenza è questa: poiché l’ampiezza oscilla molto più lentamente della funzione di cui essa è ampiezza, la frequenza di battimento sarà decisamente minore rispetto alla frequenza dell’onda somma delle due onde primarie.

Per calcolare il valore di questa frequenza di battimento, consideriamo due onde espresse in funzione del tempo e del rispettivo periodo (ricordando che \displaystyle f=\frac{1}{T}), che nell’istante t si incontrano in un punto P:

\displaystyle {{\psi }_{1}}=A\cos \left( \frac{2\pi }{{{T}_{1}}}t \right)=A\cos \left( 2\pi {{f}_{1}}t \right)

\displaystyle {{\psi }_{2}}=A\cos \left( \frac{2\pi }{{{T}_{2}}}t \right)=A\cos \left( 2\pi {{f}_{2}}t \right)

Consideriamo la sovrapposizione che si forma in P, ove si crea un’onda data dalla somma delle due onde precedenti. Per sommare queste onde verrà applicata la formula di prostaferesi per la somma dei coseni, \displaystyle \cos {{\theta }_{1}}+\cos {{\theta }_{2}}=2\cos \left( \frac{{{\theta }_{1}}+{{\theta }_{2}}}{2} \right)\cos \left( \frac{{{\theta }_{1}}-{{\theta }_{2}}}{2} \right):

\displaystyle {{\psi }_{1}}+{{\psi }_{2}}=2A\cos \left[ 2\pi \left( \frac{{{f}_{1}}+{{f}_{2}}}{2} \right)t \right]\cos \left[ 2\pi \left( \frac{{{f}_{1}}-{{f}_{2}}}{2} \right)t \right]

Esaminiamo dunque l’argomento dei due coseni. Come già notato nella dimostrazione dell’interferenza, sappiamo che uno dei due coseni è parte del valore dell’ampiezza dell’onda risultante, mentre l’argomento dell’altro contiene il prodotto tra 2π, frequenza ed istante di tale onda; essendo nelle interferenze sonore anche l’ampiezza identificabile con un’onda, l’argomento del coseno fattore del valore dell’ampiezza contiene il prodotto tra 2π, frequenza ed istante dell’onda della variazione dell’ampiezza. A questo punto riconosciamo che le due frequenze di cui stiamo parlando sono \displaystyle \frac{{{f}_{1}}+{{f}_{2}}}{2}\displaystyle \frac{{{f}_{1}}-{{f}_{2}}}{2}. Avendo precedentemente dedotto che la frequenza di battimento è minore della frequenza dell’onda formatasi con l’interferenza, possiamo affermare che la frequenza di battimento è la seconda. Tuttavia, poiché l’ampiezza massima si ha sia quando è uguale a 2A che quando è uguale a -2A (trattasi anche questa di interferenza costruttiva), la frequenza di battimento vera e propria è doppia rispetto a quella trovata. Il suo valore è dunque:

\displaystyle {{f}_{batt}}=|{{f}_{1}}-{{f}_{2}}|

Il valore assoluto è necessario poiché può capitare che la frequenza della seconda onda sia maggiore di quella della prima.

Possiamo inoltre fare una breve considerazione sulla frequenza dell’onda che si viene a formare nel punto d’interferenza (ovvero quella rappresentata in figura): tale frequenza, \displaystyle \frac{{{f}_{1}}+{{f}_{2}}}{2} , è la media delle frequenze delle due onde originali.