La gravità

La gravità è forse la forza con cui abbiamo più familiarità, tuttavia è anche la più debole tra le forze fondamentali (le altre tre sono la forza nucleare debole, la forza nucleare forte e la forza elettromagnetica), tanto che essa può essere osservata solo su sistemi di vasta scala: essa è infatti responsabile del movimento della Terra intorno al Sole, della caduta di un oggetto verso il suolo e, in generale, dell’ attrazione di ogni corpo verso un altro. Il campo gravitazionale di un corpo non si annulla mai con la distanza, anche se si affievolisce significativamente.

La forza di gravità tra due oggetti puntiformi fu proposta da Newton:

\displaystyle F=G\frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{R_{{}}^{2}}

Massa 1 (kg) Massa 2 (kg) Raggio (m)

Nota: in notazione scientifica E+/-n vuol dire che il risultato deve essere moltiplicato/diviso per \displaystyle 10_{{}}^{n}

In questa equazione, R è la distanza che separa i due oggetti di massa \displaystyle {{m}_{1}}  ed \displaystyle {{m}_{2}} mentre G è una costante valida in tutto l’ universo, chiamata costante di gravitazione universale:

G=6,67\cdot 10_{{}}^{-11}{{N}^{2}}\cdot {{m}^{2}}/k{{g}^{2}}

La forza di gravità, infine, è una coppia di forze azione-reazione, come stabilito dalla seconda Legge di Newton: per esempio, quando la Terra attrae un oggetto con una forza \displaystyle {{F}_{G}}, l’ oggetto attrae la Terra con la stessa forza \displaystyle {{F}_{G}}. Osserviamo poi che la forza di attrazione dipende dal prodotto delle masse e dal quadrato della distanza: questo implica ovviamente che la forza aumenta con l’ aumentare delle masse e viene ridotta a un quarto se la distanza raddoppia. Inoltre, se la massa è sottoposta alle forze di attrazione di più masse, la forza risultante su di essa è semplicemente il vettore risultante delle singole forze: questa proprietà della forza di gravità si chiama principio di sovrapposizione.

Fino ad ora abbiamo tuttavia considerato solamente due masse puntiformi; tuttavia, con i metodi di calcolo del calcolo integrale  Newton dimostrò che:

“La forza di gravità esercitata da una sfera su una massa puntiforme è la stessa che si avrebbe se tutta la massa della sfera fosse concentrata nel suo centro di massa.”

Applichiamo questo risultato per calcolare l’ accelerazione di gravità terrestre, ponendo la forza di gravità \displaystyle {{F}_{G}} uguale al peso:

\displaystyle mg_{T}^{{}}=\frac{GmM_{T}^{{}}}{R_{T}^{2}}

Sostituendo:

Massa della Terra  \displaystyle {{M}_{T}}=5,97\cdot 10_{{}}^{24}kg

Raggio della Terra \displaystyle R_{T}^{{}}=6,37\cdot 10_{{}}^{6}m

Semplificando la massa troviamo l’ accelerazione di gravità terrestre, indipendente dalla massa dell’ oggetto:

\displaystyle {{g}_{T}}=\frac{G\cdot {{M}_{T}}}{R_{T}^{2}}=\frac{6,67\cdot 10_{{}}^{-11}\cdot 5,97\cdot 10_{{}}^{24}}{(6,37\cdot 10_{{}}^{6})_{{}}^{2}}=9,81_{{}}^{{}}m/s_{{}}^{2}

In realtà il ragionamento dovrebbe essere inverso, ossia dovremmo prima misurare l’ accelerazione di gravità vicino alla superficie terrestre e il raggio e poi, grazie a questi dati, misurare la massa della Terra. L’ utilizzo della forza gravitazionale è poi usata per determinare il periodo di un corpo che ruota in un’orbita circolare di raggio R intorno a un’orbita più grande: basta porre la forza gravitazionale uguale alla forza centripeta.

Introduciamo ora il concetto di energia potenziale gravitazionale, utilissimo per risolvere problemi riguardo alla gravitazione senza l’ utilizzo diretto delle leggi di Newton: siccome ci interessa solo la differenza di energia potenziale tra due posizioni di un oggetto, la scelta del riferimento dove porre U=0 è del tutto arbitraria: è tuttavia convenzione nei sistemi astronomici porre lo 0 a una distanza infinita dal corpo più grande. Ad esempio, un oggetto a distanza infinita dalla Terra ha energia potenziale tendente a 0.

La formula che descrive l’ andamento dell’ energia potenziale di un corpo a una distanza R della Terra è:

\displaystyle U=-G\cdot \frac{m{{M}_{T}}}{{{R}_{T}}}

In realtà, questa formula vale per ogni coppia di oggetti puntiformi: basta sostituire la massa della Terra e del corpo con le masse dei due nuovi oggetti. Infine, va precisato che, a differenza della forza gravitazionale, U non è un vettore, bensì uno scalare. Perciò possiamo affermare che:

“L’ energia potenziale gravitazionale totale di un sistema di oggetti è la somma delle energie potenziali di ogni coppia di oggetti presi separatamente.”

Ora basta applicare il principio di conservazione dell’ energia: un corpo a distanza infinita da un altro avrà energia potenziale pari a zero e altrettanta energia cinetica. In altre parole, l’ energia totale del corpo, K+U, dovrà rimanere pari a zero. Prendendo come esempio la Terra e un oggetto di massa m:

\displaystyle \frac{1}{2}mv_{f}^{2}-G\cdot \frac{m{{M}_{T}}}{{{R}_{T}}}=0

Quando l’ oggetto è infatti a una distanza dal centro della Terra pari al raggio di quest’ ultima, la sua energia cinetica è massima; tuttavia, proprio perchè è nel punto più vicino, anche la sua energia potenziale è nel suo punto più “negativo”: alla fine, comunque, la somma tra l’ energia cinetica e l’ energia potenziale sarà sempre zero. Un discorso inverso si può fare per la velocità di fuga che un oggetto deve avere dalla superficie terrestre per poter sfuggire al campo gravitazionale terrestre: in altre parole, quando si trova a una distanza infinita dal centro della Terra e non risente praticamente più di forze attrattive da parte della Terra: l’ equazione da usare è quella sopracitata:

\displaystyle \frac{1}{2}mv_{f}^{2}-G\cdot \frac{m{{M}_{T}}}{{{R}_{T}}}=0

Sostituendo con i dati numerici le lettere nella formula, possiamo trovare la velocità di fuga dalla Terra. Inutile dire che vale anche per tutti gli altri corpi: ad esempio, per trovare la velocità di fuga di un oggetto sulla superficie di Urano, basterà sostituire la massa e il raggio della Terra con la massa e il raggio di Urano. Infine, come possiamo notare dall’ equazione sopracitata, la velocità di fuga aumenta con l’ aumentare della massa dell’oggetto che esercita il campo gravitazionale significativo  e con il diminuire del suo raggio. Talvolta, quando una stella supermassiva collassa può diventare un buco nero, una zona di densità così elevate a cui persino la luce non può sfuggire: ne possiamo avvertire la presenza perché, poco prima di quando un oggetto viene risucchiato nel buco, l’ oggetto si surriscalda a tal punto da emettere un intenso fascio di raggi X. Infine, come previsto dalla teoria della relatività generale di Einstein ogni oggetto può curvare la traiettoria della luce. Per esempio, la luce che passa vicina al Sole viene curvata di 1,75 secondi di grado. Invece, la luce che passa vicino a una galassia o a un gruppo di galassie può venire curvata in modo assai più significativo: questo effetto si chiama “lente gravitazionale”, in analogia con le lenti che, nei sistemi ottici, deviano la luce.
Le lenti gravitazionali sono responsabili della duplicazione, della quadruplicazione delle immagini di galassie molto lontane: talvolta le immagini appaiono addirittura distribuite su un arco di circonferenza!