Funzione d’onda armonica

Abbiamo identificato il moto di un’onda come moto armonico, in quanto la forma dell’onda è quella della funzione seno e coseno. Ora cerchiamo di ricavare l’equazione dell’altezza dell’onda. Partiamo dal considerare il moto armonico e scriviamolo in funzione di ampiezza, posizione e lunghezza d’onda con le nostre nozioni di moto armonico
\displaystyle \omega =\frac{2\pi }{T},T=\frac{\lambda }{v},t=\frac{x}{v}

\displaystyle y=A\cos \left( \omega t \right)=A\cos \left( \frac{2\pi }{T}\cdot \frac{x}{v} \right)=A\cos \left( \frac{2\pi }{\frac{\lambda }{v}}\cdot \frac{x}{v} \right)=A\cos \left( \frac{2\pi v}{\lambda }\cdot \frac{x}{v} \right)=

\displaystyle =A\cos \left( \frac{2\pi }{\lambda }x \right)

Possiamo notare che questa è una funzione di moto armonico in quanto sostituendo x+λ ad x nell’equazione il valore di essa non cambia (la funzione deve avere periodicità λ):

\displaystyle y=A\cos \left[ \frac{2\pi }{\lambda }\left( x+\lambda \right) \right]=A\cos \left( \frac{2\pi }{\lambda }x+2\pi \right)=A\cos \left( \frac{2\pi }{\lambda }x \right)

Questa prima formula, però, non tiene conto del tempo t. Essa è valida solo se si assume che a x=0 corrisponda t=0, per x=λ valga t=T ed in generale per un qualsiasi \displaystyle x=\frac{\lambda }{n},t=\frac{T}{n} ; ricavando n da una delle due e sostituendola nell’altra otteniamo:

\displaystyle x=\lambda \frac{t}{T}

e portando tutto al primo membro:

\displaystyle x-\lambda \frac{t}{T}=0

Questa è la formula per la posizione sull’onda di un qualsiasi punto che in t=0 si trovava in x=0. Per un punto che in t=0 si trovava in x = \displaystyle {{x}_{0}}, abbiamo:

\displaystyle x=\lambda \frac{t}{T}+{{x}_{0}}{{;}_{{}}}_{{}}x-\lambda \frac{t}{T}={{x}_{0}}

Sostituiamo quindi il valore di \displaystyle {{x}_{0}} nell’equazione precedentemente considerata ed otterremo:

\displaystyle y=A\cos \left[ \frac{2\pi }{\lambda }\left( x-\lambda \frac{t}{T} \right) \right]=A\cos \left[ 2\pi \left( \frac{x}{\lambda }-\frac{t}{T} \right) \right]

Questa è la funzione d’onda completa, che considera sia la posizione che il tempo e che vale per qualsiasi punto che nell’istante t=0 era in \displaystyle {{x}_{0}}.