Equilibrio statico

Alexander-Calder-Red-Blue-Black-Cascade

Alexander Calder  Red Blue Black Cascade

Molte opere dell’artista Alexander Calder sono incentrate sul concetto di centro di massa e, di conseguenza, sull’equilibrio. Supponiamo ad esempio di voler costruire un’asta di massa trascurabile sospesa a un filo e appendiamola a una distanza x dall’estremo sinistro, dove agganciamo una fetta di torta di massa \displaystyle {{m}_{1}} e a una distanza y dall’estremo destro, dove agganciamo un hamburger di massa \displaystyle {{m}_{2}}. Se l’asta è in equilibrio statico, la somma dei momenti torcenti che agiscono su di essa deve essere pari a zero; il fulcro che stiamo considerando è il punto dove abbiamo appeso l’ asta.

Poniamo quindi che la somma di tutti i momenti torcenti sia uguale a zero:

equilibrio2

\displaystyle {{m}_{1}}gx-{{m}_{2}}gy=0

Ossia:

\displaystyle {{m}_{1}}gx={{m}_{2}}gy

Ne consegue che il valore di \displaystyle {{m}_{2}} è pari a:

\displaystyle {{m}_{2}}={{m}_{1}}\frac{x}{y}

Se ora vogliamo ricavare la posizione del centro di massa del sistema, utilizzando come origine il punto in cui è legato il filo, possiamo determinare \displaystyle {{X}_{CM}} come:

\displaystyle {{X}_{CM}}=\frac{{{m}_{1}}(-x)+{{m}_{2}}y}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}=-\frac{{{m}_{1}}x-{{m}_{2}}y}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}

Essendo però \displaystyle {{m}_{1}}x-{{m}_{2}}y uguale a zero risulta che:

\displaystyle {{X}_{CM}}=0

Questo è proprio il punto dove è attaccato il filo: possiamo quindi dedurre che l’ asta è in equilibrio statico quando il suo centro di massa è nel suo punto di sospensione.

In generale, se un oggetto viene sospeso nel suo centro di massa, resta in equilibrio. Nell’esempio seguente vediamo come un sistema con ΣM (sommatoria dei momenti) diversa da zero non sia un sistema stabile:

quadri2

La situazione di sinistra è chiaramente una situazione di equilibrio perchè il momento esercitato dal peso è nullo, mentre la situazione di destra no: il braccio del peso (ossia la distanza dal centro di massa alla retta tratteggiata parallela all’asse y) non è nullo e la forza peso porta il quadro nella situazione di sinistra.