Equazione di continuità

Ora vedremo il comportamento di un fluido che passa da un tubo con un certo diametro a un tubo con un diametro differente. Per trovare la relazione tra la sezione del tubo e la velocità basta applicare la conservazione della massa del fluido che scorre nel condotto. Per esempio, sappiamo che il volume che passa in un fluido è AΔx. Siccome $\displaystyle \Delta x={{v}_{1}}\Delta t$ , ossia la velocità nel tubo con sezione pari a $\displaystyle {{A}_{1}}$ moltiplicata per un intervallo di tempo Δt, il volume che passa nella prima parte del tubo sarà $\displaystyle {{A}_{1}}{{v}_{1}}\Delta t$ . Dalla definizione di densità $\displaystyle {{\rho }_{1}}=\frac{\Delta m}{\Delta {{V}_{1}}}$ , troviamo che la quantità d’acqua che passa nel tubo in un intervallo di tempo Δt è pari a $\displaystyle \Delta m={{\rho }_{1}}\Delta {{V}_{1}}={{\rho }_{1}}\Delta {{A}_{1}}{{v}_{1}}\Delta t$ .

Analogamente, per la conservazione della massa, la quantità d’ acqua che passa nella seconda parte del tubo è $\displaystyle \Delta m={{\rho }_{2}}\Delta {{V}_{2}}={{\rho }_{2}}\Delta {{A}_{2}}{{v}_{2}}\Delta t$ .

Ora, uguagliando le due equazioni e semplificando Δt:

$\displaystyle {{\rho }_{1}}\Delta {{A}_{1}}{{v}_{1}}\Delta t={{\rho }_{2}}\Delta {{A}_{2}}{{v}_{2}}\Delta t$

Questa equazione ha il nome di equazione di continuità. Per fluidi come i gas è molto importante considerare anche la densità, perchè essi sono facilmente comprimibili, a differenza di fluidi quali l’ acqua, pressochè incomprimibile. Ragion per cui, se $\displaystyle {{\rho }_{1}}={{\rho }_{2}}$ , possiamo semplificare la densità e ottenere l’ equazione di continuità per fluidi incomprimibili:

$\displaystyle {{A}_{1}}$ $\displaystyle {{v}_{1}}={{A}_{2}}$ $\displaystyle {{v}_{2}}$

Il prodotto Av indica la portata, ossia il volume di fluido che passa in un intervallo di tempo: la sue unità di misura è dunque $\displaystyle {{m}^{3}}/s$ .