Dinamica di un fluido

B_velocità

In questa parte vedremo il teorema dell’energia cinetica applicato ai fluidi, considerando la velocità variabile di un fluido in parti di un tubo di sezione diversa. Sappiamo infatti che la variazione di velocità è legata alla variazione di energia cinetica, che a sua volta è legata al lavoro.

Come vediamo la velocità nella parte del tubo con sezione maggiore è minore della velocità nella parte con sezione minore a destra. Il lavoro compiuto dalla pressione nella parte 1 del tubo è \displaystyle \Delta {{L}_{1}}={{F}_{1}}\Delta {{x}_{1}}, e siccome \displaystyle {{F}_{1}}={{p}_{1}}{{A}_{1}}, l’ equazione diventa \displaystyle \Delta {{L}_{1}}={{p}_{1}}{{A}_{1}}\Delta {{x}_{1}}; \displaystyle {{A}_{1}}\Delta {{x}_{1}} non è altro che il volume perciò \displaystyle \Delta {{L}_{1}}={{p}_{1}}\Delta {{V}_{1}}.
Con lo stesso procedimento calcoliamo il lavoro della pressione nella parte con sezione 2: quando il fluido entra nella sezione 2  risente di una pressione che compie su di esso un lavoro negativo pari a \displaystyle \Delta {{L}_{2}}=-{{p}_{2}}\Delta {{V}_{2}}.
Poiché il fluido è incomprimibile abbiamo che la porzione di fluido che passa nella sezione 1 e nella sezione di tubo 2 (la precedentemente dimostrata equazione di continuità) è costante, perciò \displaystyle \Delta {{V}_{1}}=\Delta {{V}_{2}}.
Sommiamo algebricamente  \displaystyle \Delta {{L}_{1}} e \displaystyle \Delta {{L}_{2}} per determinare il lavoro totale compiuto sul fluido e poniamolo uguale alla variazione di energia cinetica come stabilito dal teorema dell’energia cinetica:
\displaystyle \Delta {{L}_{tot}}={{K}_{2}}-{{K}_{1}}
Ricordando che la massa può essere espressa in termini di ρ e ΔV (m=ρV) abbiamo che Δm = ρΔV troviamo che l’energia cinetica di un fluido è:
\displaystyle K=\frac{1}{2}(\rho \Delta V)v_{{}}^{2}
Abbiamo quindi che :
\displaystyle \Delta {{L}_{tot}}=({{p}_{1}}-{{p}_{2}})\Delta V=\left( \frac{1}{2}\rho v_{2}^{2}-\frac{1}{2}\rho v_{1}^{2} \right)\Delta V
Quindi semplificando ΔV e portando i termini con lo stesso pedice dalla stessa parte dell’equazione troviamo che:
\displaystyle {{p}_{1}}+\frac{1}{2}\rho v_{1}^{2}={{p}_{2}}+\frac{1}{2}\rho v_{2}^{2}
Consideriamo ora un altro caso: altezza variabile con sezione del tubo costante: l’equazione che tiene conto sia della differenza di altezza e velocità sarà riassunta nell’equazione di Bernoulli.
B_altezza

Sappiamo dall’equazione di continuità che se la sezione del tubo rimane costante anche la velocità deve rimanere costante: allora anche il lavoro compiuto sul fluido deve essere nullo, come affermato dal teorema dell’energia cinetica. Per capire come ciò possa accadere osserviamo che una massa di acqua Δm che sale un dislivello Δh viene compiuto un lavoro negativo dalla forza di gravità pari a \displaystyle -\Delta mg\Delta h.

Il lavoro della gravità deve essere controbilanciato dal lavoro, di uguale intensità compiuto dalla differenza di pressione nel punto iniziale al punto sopra il punto iniziale Δh . Come sappiamo il lavoro nel punto 1 compiuto dalla pressione è \displaystyle \Delta {{L}_{pressione}}=({{p}_{1}}-{{p}_{2}})\Delta V.

Perciò \displaystyle \Delta {{L}_{tot}}=\Delta {{L}_{pressione}}+\Delta {{L}_{gravit\grave{a}}}.

ossia

\displaystyle ({{p}_{1}}-{{p}_{2}})\Delta V=\Delta mg\Delta h

Siccome \displaystyle \Delta m=\rho \Delta V sostituendo in quest’ultima equazione troviamo che

\displaystyle ({{p}_{1}}-{{p}_{2}})\Delta V=\rho g\Delta h\Delta V

Semplificando ΔV, siccome \displaystyle \Delta h={{h}_{2}}-{{h}_{1}}, ossia la differenza tra l’altezza misurata nel punto 2 e nel punto 1, se scriviamo i termini con lo stesso pedice dalla stessa parte otteniamo che:

\displaystyle {{p}_{1}}+\rho g{{h}_{1}}={{p}_{2}}+\rho g{{h}_{2}}