Bernoulli

BERNOULLI DEF

 

Adesso possiamo combinare le precedenti relazioni per ricavare l’ equazione di Bernoulli, che descrive la velocità di un fluido in funzione della differenza di altezza e di pressione di un determinato fluido.

\displaystyle {{p}_{1}}+\frac{1}{2}\rho v_{1}^{2}+\rho g{{h}_{1}}={{p}_{2}}+\frac{1}{2}\rho v_{2}^{2}+\rho g{{h}_{2}}

Questo è semplicemente un altro modo di esprimere la conservazione dell’ energia, in parallelo al teorema dell’ energia cinetica in termini di grandezze per unità di volume (ovviamente trascurando eventuali attriti che producono calore) :

Infatti riprendendo la definizione di densità \displaystyle \frac{1}{2}\rho v_{{}}^{2} può essere riscritto come \displaystyle \frac{1}{2}\rho v_{{}}^{2}=\frac{1}{2}\left( \frac{m}{V} \right)v_{{}}^{2}=\left( \frac{\frac{1}{2}mv_{{}}^{2}}{V} \right). In altre parole, l’ energia cinetica per unità di volume.

Il termine \displaystyle \rho gh può anche essere riscritto come \displaystyle \rho gh=\left( \frac{m}{V} \right)gh=\frac{mgh}{V}, ossia l’ energia potenziale gravitazionale per unità di volume.

Infine, ricordando che la pressione può essere riscritta come \displaystyle p=\frac{F}{A}, se moltiplichiamo il numeratore e il denominatore per Δx, otteniamo \displaystyle p=\frac{F\Delta x}{A\Delta x}. Siccome FΔx rappresenta il lavoro di una forza per un tratto Δx e AΔx rappresenta il volume, la pressione può anche essere pensata come \displaystyle p=\frac{L}{V}, ossia lavoro per unità di volume.

L’equazione di Bernoulli ci fa comprendere fenomeni legati alla pressione e alla velocità di un fluido: per esempio, se soffiamo sulla superficie superiore di un foglio di carta, questo si solleverà verso l’alto. Infatti la velocità dell’aria sulla parte superiore del foglio è maggiore di quella sotto la parte inferiore: questo si traduce in una differenza di pressione (la pressione sotto il foglio è maggiore di quella sopra) che genera quindi una forza risultante verso l’alto. Questa forza che solleva il foglio in alto è detta portanza. In scala maggiore, questo accade durante gli uragani: la velocità del vento sopra il tetto della casa è responsabile della forza data dalla differenza di pressione che genera una forza che spinge su il tetto. Ecco perchè molti tetti vengono divelti dagli uragani più violenti.