Archimede

Una conseguenza interessante della differenza di pressione tra la faccia superiore e la faccia inferiore di un solido (prendiamo in esame un cubo per semplificare il concetto) è la forza di galleggiamento, descritta dal principio di Archimede. Se la pressione sulla faccia superiore del cubo è \displaystyle {{p}_{1}}, allora la forza esercitata sarà \displaystyle {{F}_{1}}={{p}_{1}}A={{p}_{1}}{{L}^{2}}.

archimede 1La pressione sulla faccia inferiore è aumentata di una quantità ρgh: siccome in questo modello h, ossia la differenza di profondità coincide con L (h=L), la pressione aumenta di una quantità ρgh = ρgL. La pressione sulla faccia inferiore sarà perciò \displaystyle {{p}_{2}}={{p}_{1}}+\rho gL, e di conseguenza la forza esercitata sarà \displaystyle {{F}_{2}}={{p}_{2}}A=({{p}_{1}}+\rho gL){{L}^{2}}

Quindi la risultante forza dalla differenza tra \displaystyle {{F}_{2}} e \displaystyle {{F}_{1}} sarà \displaystyle {{F}_{1}}+\rho g{{L}^{3}}-{{F}_{1}}=\rho g{{L}^{3}}.

Siccome \displaystyle {{L}^{3}} è il volume del cubo, possiamo generalizzare la forza di galleggiamento o di Archimede per:

\displaystyle {{F}_{Archimede}}={{\rho }_{fluido}}gV

Nella dimostrazione abbiamo trascurato la pressione del fluido sui lati perché la pressione su una faccia era uguagliata dalla pressione del fluido sulla faccia opposta. In questa equazione V può essere l’ intero volume dell’oggetto oppure solo una sua parte, ossia a indicare il volume immerso. Affinché l’oggetto galleggi il suo peso deve essere controbilanciato dalla forza di Archimede. Siccome il peso è dato da \displaystyle {{\rho }_{ogg}}gV e la forza di Archimede è \displaystyle {{\rho }_{fluido}}g{{V}_{imm}} deve essere che, nella condizione di equilibrio, \displaystyle {{\rho }_{ogg}}gV={{\rho }_{fluido}}g{{V}_{imm}}.

Semplificando g troviamo che:

\displaystyle {{\rho }_{ogg}}V={{\rho }_{fluido}}{{V}_{imm}}

Infine ricavando \displaystyle {{V}_{imm}} rispetto agli altri dati:

\displaystyle {{V}_{immerso}}=V\frac{{{\rho }_{oggetto}}}{{{\rho }_{fluido}}}

Inoltre nella situazione di equilibriarchimede 2o la massa di fluido spostata è uguale alla massa dell’oggetto. Dall’equazione precedente deduciamo che un oggetto può galleggiare solo se la sua densità è inferiore o uguale a quella del fluido. Qualcuno potrebbe controbattere che le navi sono costituite in gran parte di metalli più pesanti dell’acqua e però galleggiano lo stesso: in realtà una nave è cava all’interno e quindi piena di aria, ragion per cui, alla fine, la densità complessiva di una nave è inferiore  a quella dell’acqua. In generale:

Un oggetto galleggia quando sposta un volume di fluido il cui peso è uguale al peso dell’oggetto.

Quindi una sfera di ferro affonda, ma una scodella dello stesso materiale, se sposta una sufficiente quantità d’acqua, galleggia.