Posizione, velocità e accelerazione angolari

La Velocità Angolare

Δθ per ω

Per prima cosa definiamo la posizione di un oggetto in un moto circolare, come per esempio il moto di una ruota che rotola sul terreno: per farlo basta prendere l’angolo α misurato in radianti che il punto forma con una semiretta con l’origine nel centro della ruota e parallela al terreno. Per esempio un angolo θ pari a π/4 indica che il punto forma  con la semiretta nell’origine un angolo di 45°.

Per determinare ora la velocità di rotazione della ruota definiamo la velocità angolare. Se lo spostamento angolare  \displaystyle {{\theta }_{f}}-{{\theta }_{i}}=\Delta \theta avviene in un tempo Δt, dividendo lo spostamento angolare per il tempo otterremo la velocità angolare media ωm. La velocità angolare si misura pertanto in radianti al secondo.

Velocità angolare media \displaystyle {{\omega }_{m}}:

\displaystyle {{\omega }_{m}}=\frac{\Delta \theta }{\Delta t}

Per definire la velocità angolare istantanea consideriamo lo spostamento angolare avvenuto in un intervallo di tempo Δt tendente a zero:

Velocità angolare istantanea ω:

\displaystyle \omega =\underset{\vartriangle t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta \theta }{\Delta t}

Il segno della velocità angolare determina se la ruota sta ruotando in senso orario o in senso antiorario: convenzionalmente ω è positiva quando la rotazione è antioraria, negativa quando la rotazione è oraria.

Segno della velocità angolare ω:

ω>0: rotazione antioraria

ω<0: rotazione antioraria

Poiché Δt è sempre positivoω e Δθ sono concordi. Per collegare la velocità angolare al tempo T impiegato per completare un giro utilizziamo la definizione di velocità angolare. Sappiamo infatti che \displaystyle {{\omega }_{m}}=\frac{\Delta \theta }{\Delta t}. Se Δθ=2π, ossia l’angolo di un giro e Δt=T, ossia il periodo per completare un giro abbiamo che:

\displaystyle {{\omega }_{m}}=\frac{2\pi }{T}   e risolvendo rispetto a T:

\displaystyle {T}=\frac{2\pi }{{\omega }_{m}}

T viene chiamato appunto il periodo necessario per completare un giro

Definizione di periodo T:

\displaystyle {T}=\frac{2\pi }{{\omega }_{m}}

L’ Accelerazione Angolare

Tutte queste considerazioni valgono solo tuttavia se ω rimane costante. Se ω varia dobbiamo definire l’accelerazione angolare, ossia la variazione di ω in un tempo Δt. Indichiamo l’accelerazione angolare media con α.

Accelerazione angolare media \displaystyle {{\alpha }_{m}}:

\displaystyle {{\alpha }_{m}}=\frac{\Delta \omega }{\Delta t}

Da questa definizione notiamo che l’accelerazione angolare si misura in radianti al secondo quadrato. Analogamente, per trovare la variazione della velocità angolare in un tempo Δt tendente a zero definiamo l’accelerazione angolare istantanea α come:

\displaystyle \alpha =\underset{\vartriangle t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta \omega }{\Delta t}

Il segno di α dipende dal segno di \displaystyle \Delta \omega . Se \displaystyle {{\omega }_{f}}>{{\omega }_{i}}, anche l’accelerazione angolare sarà positiva (Fig.1). Un errore commesso molte volte è pensare che se α<0 la ruota debba sempre rallentare, ossia che il periodo T per completare un giro aumenti. Ciò è vero solo se la rotazione è antioraria: se la rotazione è oraria un’accelerazione negativa non fa che aumentare il modulo della velocità (Fig.2). Pertanto Il modulo di ω diminuirà se α è positiva ma la rotazione è oraria (Fig.3) mentre se la ruota gira in senso antiorario e \displaystyle {{\omega }_{f}}<{{\omega }_{i}}, avremo che α sarà negativa (Fig 4) e la velocità angolare della ruota sarà in diminuzione. Perciò, in generale, il modulo di ω aumenta sia con ω>0α>0 sia con  ω<0α<0, ossia se  ω e α hanno lo stesso segno (Fig. 1-2).

ruota a raggi1

ruota a raggi2

ruota a raggi3

ruota a raggi4