Onde stazionarie

In questa sezione esaminiamo le onde stazionarie, come quelle che generiamo pizzicando le corde di una chitarra oppure quando soffiamo sul collo di una bottiglia per produrre un suono. Queste onde sono dette stazionarie perché oscillano nel tempo rimanendo ferme nella loro posizione: non c’è propagazione in nessuna direzione. Un’onda stazionaria può essere visualizzata come interferenza di due onde contrarie con la stessa frequenza. I tipi di onde che consideriamo sono quindi:
-onde in una corda;
-onde sonore in strutture cave, aperte a una estremità o a entrambe.

Onde in una corda

Consideriamo innanzitutto una corda legata a entrambe le estremità di lunghezza L. Come sappiamo dall’esperienza, se pizzichiamo questa corda essa vibra come mostrato nella figura sottostante.

onda-stazionaria

Questa vibrazione è detta modo fondamentale o prima armonica e corrisponde alla frequenza minima dell’onda raggiungibile nella corda. Inoltre, come vediamo dalla figura la lunghezza della corda è pari a mezza lunghezza d’onda: come abbiamo già accennato prima possiamo dire che la prima armonica sia generata dall’onda riflessa avanti e indietro tra le due pareti a cui è fissata. Per calcolare la frequenza partiamo dall’osservazione di prima, ossia che \displaystyle L={{\lambda }_{1}}/2: il pedice di λ in questa espressione indica che stiamo parlando della armonica numero 1, ossia la prima armonica. Abbiamo quindi che:

\displaystyle {{\lambda }_{1}}=2L

Se la velocità delle onde su questa corda è v utilizziamo la relazione λf=v per trovare la frequenza corrispondente:

\displaystyle {{f}_{1}}=\frac{v}{{{\lambda }_{1}}}=\frac{v}{2L}

La prima armonica non è tuttavia l’unica frequenza dell’onda stazionaria che può essere generata su un’onda: possono esistere infatti frequenze che sono multipli interi di quella fondamentale, sempre con gli estremi della corda fermi. In particolare i punti della corda che rimangono fermi sono detti nodi mentre i punti di massima ampiezza dell’onda sono detti antinodi. Per comprendere meglio il concetto consideriamo la figura sottostante:

1-2-3-armonica

In particolare, un’armonica contiene sempre mezza lunghezza d’onda in più della precedente: ad esempio per la seconda armonica la lunghezza d’onda \displaystyle {{\lambda }_{2}} è pari a:

\displaystyle {{\lambda }_{2}}=L

Perciò la sua frequenza è pari a:

\displaystyle {{f}_{2}}=\frac{v}{{{\lambda }_{2}}}=\frac{v}{L}=2{{f}_{1}}

Analogo procedimento per la terza armonica. In questo caso L si divide in tre mezze lunghezze d’onda e quindi abbiamo che:

\displaystyle {{\lambda }_{3}}=2L/3

Ricaviamo quindi la frequenza corrispondente alla terza armonica:

\displaystyle {{f}_{3}}=\frac{v}{{{\lambda }_{3}}}=\frac{3v}{2L}=3{{f}_{1}}

Generalizziamo quindi per l’ n-esima armonica notando dagli esempi precedenti che le frequenze delle armoniche aumentano esclusivamente per numeri interi:

\displaystyle {{f}_{n}}=n{{f}_{1}}=n\frac{v}{2L}

\displaystyle {{\lambda }_{n}}=\frac{{{\lambda }_{1}}}{n}=\frac{2L}{n}       con n = 1,2,3…

Ora ci spostiamo sulle onde sonore nelle strutture cave.

Onde stazionarie in una colonna d’aria chiusa a un estremo

Ora esamineremo il fenomeno che accade quando soffiamo dentro a una bottiglia, che si tratta ovviamente di una struttura che contiene una colonna d’aria chiusa ad un’estremità: in questo sistema, per qualsiasi armonica, il fondo della bottiglia agisce da nodo, in quanto l’aria sul fondo non può oscillare mentre, al contrario, presso il collo della bottiglia c’è sempre un antinodo causato dal moto vorticoso dell’aria. Partiamo innanzitutto dalla prima armonica: come possiamo vedere dalla figura sottostante un quarto di lunghezza d’onda entra perfettamente nell’altezza della canna (abbiamo considerato una canna al posto di una bottiglia per la sua geometria più semplice):

onde-stazionarie-1

Dalle osservazioni precedenti abbiamo che \displaystyle {{\lambda }_{1}}, ossia la lunghezza d’onda della prima armonica, è pari a:

\displaystyle L={{\lambda }_{1}}/4

ossia

\displaystyle {{\lambda }_{1}}=4L

Quindi mediante la relazione λf = v troviamo \displaystyle {{f}_{1}} come:

\displaystyle {{f}_{1}}=\frac{v}{{{\lambda }_{1}}}=\frac{v}{4L}

Per trovare l’armonica successiva aggiungiamo mezza lunghezza d’onda alla precedente: in questo caso L corrisponderà a 3/4 L. In questo caso l’armonica successiva sarà quindi:

\displaystyle \frac{v}{{{\lambda }_{{}}}}=\frac{3v}{4L}=3{{f}_{1}}

Questa che abbiamo ricavato è la terza armonica, in quanto è il triplo dell’armonica fondamentale. Per trovare l’armonica ancora successiva aggiungiamo un’altra mezza lunghezza d’onda vediamo che 5λ/4 = L.

Ricavando la sua frequenza troviamo che:

\displaystyle \frac{v}{{{\lambda }_{{}}}}=\frac{5v}{4L}=5{{f}_{1}}

Notiamo che la frequenza non varia come per le onde sulle corde, in quanto non esistono frequenze con n pari: esistono solo la prima, la terza, la quinta, la settima armonica e così via. Generalizziamo questo ragionamento per l’n-esima armonica:

\displaystyle {{f}_{n}}=n{{f}_{1}}=n\frac{v}{4L}

\displaystyle {{\lambda }_{n}}=\frac{{{\lambda }_{1}}}{n}=\frac{4L}{n}        con n = 1,3,5… n dispari

Un classico esempio di colonna d’aria chiusa ad un estremo è il canale uditivo dell’orecchio umano: il punto dove si forma il nodo è in questo caso il timpano.

Onde stazionarie in una colonna d’aria aperta a entrambi gli estremi

onde-stazionarie-2

Come abbiamo fatto per le altre tipologie di onde stazionarie cerchiamo nella canna illustrata nella figura sopra la frequenza minore possibile, che corrisponderà alla maggiore lunghezza d’onda. In questo tipo di onde notiamo che a entrambi gli estremi c’è un antinodo: di conseguenza la maggiore lunghezza d’onda possibile corrisponde a metà della lunghezza della canna. La lunghezza d’onda per la prima armonica sarà quindi pari a:

\displaystyle {{\lambda }_{1}}=2L

Ricaviamo quindi la frequenza fondamentale sempre con la relazione λf = v:

\displaystyle {{f}_{1}}=\frac{v}{2L}

In queste onde le frequenze aumentano esattamente come nelle onde sulle corde. Possiamo quindi generalizzare il concetto anche per questo tipo di onde:

\displaystyle {{f}_{n}}=n{{f}_{1}}=n\frac{v}{2L}

\displaystyle {{\lambda }_{n}}=\frac{{{\lambda }_{1}}}{n}=\frac{2L}{n}        con n = 1,2,3…

Un esempio di utilizzo di onde stazionarie con tubi di differente lunghezza con una o entrambe estremità aperte è l’organo: è grazie a un’adeguata scelta di lunghezza e del tipo di tubo che l’organo può produrre una vasta gamma di suoni, imitando quelli di una tromba, di un clarinetto e altri ancora…