Momento d’inerzia e energia

Un oggetto che rotola ha un’energia cinetica non solo di traslazione ma anche un’energia di rotazione: per capire come ciò accada consideriamo un oggetto puntiforme di massa m che si muove in una traiettoria circolare di raggio r: se la sua velocità tangenziale è v, la sua energia cinetica è \displaystyle K=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}. Sapendo poi che v e ω sono legate dalla relazione v=ωr e sostituendo troviamo che:

\displaystyle K=\frac{1}{2}m{{\left( \omega r \right)}^{2}}=\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{r}^{2}}

Il significato di quest’ultima equazione è che l’energia dell’oggetto non dipende semplicemente da ω ma anche dalla distanza dall’asse di rotazione: essa dipende perciò anche dalla distribuzione della massa. In generale, se consideriamo una sfera che ruota intorno all’asse passante per il suo centro, l’energia cinetica di rotazione di tale sfera è data dai contributi delle energie cinetiche di tutte le piccole masse di cui è composto l’oggetto. In particolare, siccome tutte le masse hanno la stessa velocità angolare ω l’energia cinetica totale di rotazione sarà:

\displaystyle K=\frac{1}{2}\sum\limits_{{}}^{{}}{{{m}_{i}}r_{i}^{2}{{\omega }^{2}}}

Il termine \displaystyle \Sigma {{m}_{i}}r_{i}^{2} ha un nome specifico in fisica, noto come momento di inerzia: il caso più semplice è quello di un anello, le cui masse sono tutte a una distanza R dall’asse di rotazione: il momento di inerzia dell’anello è perciò uguale a:

\displaystyle I=\sum\limits_{{}}^{{}}{{{m}_{i}}r_{i}^{2}}=\sum\limits_{{}}^{{}}{{{m}_{i}}R_{{}}^{2}}

Siccome \displaystyle \Sigma {{m}_{i}} è la somma di tutte le masse che compongono l’anello, \displaystyle \Sigma {{m}_{i}} coincide con la massa totale dell’anello. Avremo perciò che il momento di inerzia di un anello è pari a:

\displaystyle {{I}_{anello}}=MR_{{}}^{2}

Ecco alcuni momenti di inerzia dei solidi più comuni (ringraziamo Wikipedia per la gentile concessione delle immagini):

Nome e descrizione Immagine Formula del momento di Inerzia
Circonferenza sottile di raggio r e massa m  170px-Moment_of_inertia_hoop.svg \displaystyle {{I}_{z}}=m{{r}^{2}}\displaystyle {{I}_{x}}={{I}_{y}}=m\frac{{{r}^{2}}}{2}
Nome e descrizione Immagine Formula del momento di Inerzia
Asta di lunghezza L e massa m (asse di rotazione alla fine dell’asta) Moment_of_inertia_rod_end \displaystyle {{I}_{est}}=m\frac{{{L}^{2}}}{3}
Asta di lunghezza L e massa m Moment_of_inertia_rod_center \displaystyle {{I}_{cent}}=m\frac{{{L}^{2}}}{12}

 

Nome e descrizione Immagine Formula del momento di Inerzia
Disco solido e sottile, di raggio r e massa m  170px-Moment_of_inertia_disc.svg \displaystyle {{I}_{z}}=m\frac{{{r}^{2}}}{2}\displaystyle {{I}_{x}}={{I}_{y}}=m\frac{{{r}^{2}}}{4}
Nome e descrizione Immagine Formula del momento di Inerzia
Superficie cilindrica sottile con estremità aperte, di raggio r e massa m  Moment_of_inertia_thin_cylinder  \displaystyle I=m{{r}^{2}}
Cilindro solido di raggio r, altezza h e massa m 170px-Moment_of_inertia_solid_cylinder.svg \displaystyle {{I}_{z}}=m\frac{{{r}^{2}}}{2}\displaystyle {{I}_{x}}={{I}_{y}}=\frac{1}{12}m\left( 3{{r}^{2}}+{{h}^{2}} \right)
Nome e descrizione Immagine Formula del momento di Inerzia
Sfera (cava) di raggio r e massa m  170px-Moment_of_inertia_hollow_sphere.svg \displaystyle I=\frac{2m{{r}^{2}}}{3}
Sfera (piena) di raggio r e massa m 170px-Moment_of_inertia_solid_sphere.svg \displaystyle I=\frac{2m{{r}^{2}}}{5}
Nome e descrizione Immagine Formula del momento di Inerzia
Piastra rettangolare sottile di altezza h, larghezza w e massa m
(Asse di rotazione all’estremità della piastra)
 153px-Recplaneoff.svg  \displaystyle {{I}_{e}}=\frac{m{{h}^{2}}}{3}+\frac{m{{w}^{2}}}{12}
Piastra rettangolare sottile di altezza h, larghezza w e massa m 153px-Recplane.svg \displaystyle {{I}_{c}}=\frac{m\left( {{h}^{2}}+{{w}^{2}} \right)}{12}
Nome e descrizione Immagine Formula del momento di Inerzia
Parallelepipedo solido di altezza h, larghezza w, profondità d e massa m  Moment_of_inertia_solid_rectangular_prism \displaystyle {{I}_{h}}=\frac{1}{12}m\left( {{w}^{2}}+{{d}^{2}} \right)\displaystyle {{I}_{w}}=\frac{1}{12}m\left( {{h}^{2}}+{{d}^{2}} \right)\displaystyle {{I}_{d}}=\frac{1}{12}m\left( {{w}^{2}}+{{h}^{2}} \right)
Nome e descrizione Immagine Formula del momento di Inerzia
Cono circolare retto con raggio r, altezza h e massa m  120px-Moment_of_inertia_cone.svg \displaystyle {{I}_{z}}=\frac{3}{10}m{{r}^{2}}\displaystyle {{I}_{x}}={{I}_{y}}=\frac{3}{5}m\left( \frac{{{r}^{2}}}{4}+{{h}^{2}} \right)

 

Applichiamo ora la conservazione dell’energia a un sistema di un oggetto che rotola giù da un pendio. Consideriamo una sfera ferma come nella figura sottostante: sappiamo che la sua energia è tutta potenziale e che l’energia è pari a mgh.

\displaystyle U={{E}_{tot}}=mgh

L’energia della sfera al termine della discesa è completamente cinetica ed è pari alla somma dell’energia cinetica di traslazione e dell’energia cinetica di rotolamento ed è perciò pari a:

\displaystyle K=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}+\frac{1}{2}I{{\omega }^{2}}

Applicando la conservazione dell’energia e trascurando forze dissipative troviamo che

\displaystyle mgh=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}+\frac{1}{2}I{{\omega }^{2}}

Per la sfera sappiamo che \displaystyle I=\frac{2m{{r}^{2}}}{5} e dalle equazioni della cinematica rotazionale che ωr=v. Sostituendo troviamo che:

\displaystyle mgh=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}+\frac{1}{2}\left( \frac{2m{{r}^{2}}}{5} \right)\left( \frac{{{v}^{2}}}{{{r}^{2}}} \right)

Semplificando m ed r (la velocità finale non dipende né dal raggio né dalla massa della sfera):

\displaystyle gh=\frac{1}{2}{{v}^{2}}+\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5}{{v}^{2}}

ossia

\displaystyle gh={{v}^{2}}\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{5} \right)

e quindi risolvendo rispetto a v

\displaystyle v=\sqrt{\frac{10}{7}gh}

La velocità finale della sfera è minore della velocità di un oggetto privo di moto di rotolamento, perché parte dell’energia potenziale gravitazionale è convertita in energia cinetica di rotolamento e non di traslazione: infatti il momento di inerzia di un oggetto senza moto di rotolamento è pari a zero.