Molle e Periodo

molla moto armonico

Procederemo ora a dimostrare la relazione tra il periodo con cui tende a oscillare una molla e il suo coefficiente di elasticità k.

E’ necessario ricordare l’equazione che associa a un allungamento x con un coefficiente elastico k una forza F:

\displaystyle F=-kx

Ma dal momento che F=ma ne consegue che:

\displaystyle ma=-kx

se ora sostituiamo x e a con le posizione e l’accelerazione del moto armonico:

\displaystyle x=A\cos (\omega t)

\displaystyle a=-A{{\omega }^{2}}\cos (\omega t)

otteniamo mediante opportune semplificazioni la formula che permette di ricavare un periodo T conoscendo la massa del corpo attaccato alla molla e il coefficiente di elasticità della molla:

\displaystyle m\cdot [-A{{\omega }^{2}}\cos (\omega t)]=-k\cdot A\cos (\omega t)

\displaystyle m\cdot {{\omega }^{2}}=k

\displaystyle {{\omega }^{2}}=\frac{k}{m}

\displaystyle \omega =\frac{2\pi }{T}

\displaystyle {{\left( \frac{2\pi }{T} \right)}^{2}}=\frac{k}{m}

Isolando T e applicando la radice quadrata ad entrambi i membri troviamo l’equazione del periodo di una molla oscillante:

\displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}