Equazione degli Specchi

L’equazione degli specchi è una relazione matematica tra la distanza dell’oggetto dallo specchio e la sua distanza focale.

Per dimostrare tale equazione consideriamo le due immagini seguenti.
dim lenti sott
dim lenti sott2a

Notiamo che i due triangoli verdi colorati sono simili in quanto hanno un angolo retto e un angolo congruente per la legge di riflessione: perciò \displaystyle \frac{{{h}_{0}}}{-{{h}_{i}}}=\frac{{{d}_{0}}}{{{d}_{i}}}. In questa equazione abbiamo messo il segno meno davanti a \displaystyle {{h}_{i}} perché questa è invertita, ossia \displaystyle {{h}_{i}} è negativa: \displaystyle -{{h}_{i}} è quindi positiva. Prendiamo ora in esame la seconda immagine e consideriamo i due triangoli colorati lillà: anch’essi sono simili in quanto hanno entrambi un angolo retto e l’angolo compreso tra l’asse ottico e la retta che collega le due altezze congruente, in quanto angoli opposti al  vertice C. Perciò \displaystyle \frac{{{h}_{0}}}{{{d}_{0}}-R}=-\frac{{{h}_{i}}}{R-{{d}_{i}}} che può essere riordinato in:

\displaystyle \frac{{{h}_{0}}}{-{{h}_{i}}}=\frac{{{d}_{0}}-R}{R-{{d}_{i}}}

Siccome dalla prima equazione sappiamo che \displaystyle \frac{{{h}_{0}}}{-{{h}_{i}}}=\frac{{{d}_{0}}}{{{d}_{i}}} possiamo eguagliare i primi membri delle equazioni ricavate prima, ottenendo  \displaystyle \frac{{{d}_{0}}}{{{d}_{i}}}=\frac{{{d}_{0}}-R}{R-{{d}_{i}}}.

Dividendo entrambi i membri di quest’ultima equazione per \displaystyle \frac{{{d}_{0}}}{{{d}_{i}}} otteniamo la seguente equazione:

\displaystyle 1=\frac{1-\frac{R}{{{d}_{0}}}}{\frac{R}{{{d}_{i}}}-1}

Da questa equazione ricaviamo che \displaystyle \frac{R}{{{d}_{0}}}+\frac{R}{{{d}_{i}}}=2. Dividendo per il raggio e sapendo che f=1/2 R, otteniamo la forma finale dell’equazione degli specchi o dei punti coniugati:

Equazione degli specchi o dei punti coniugati:

\displaystyle \frac{1}{{{d}_{0}}}+\frac{1}{{{d}_{i}}}=\frac{1}{f}

Se il fuoco tende a infinito, il secondo membro di quest’equazione tenderà a zero e ci ritroviamo nel caso di uno specchio piano in cui \displaystyle \frac{1}{{{d}_{0}}}=-\frac{1}{{{d}_{i}}}. Infatti lo specchio visto di profilo può anche essere visto come arco facente parte di una circonferenza di raggio infinito.

Se vogliamo trovare l’ingrandimento dell’immagine consideriamo il rapporto tra l’altezza iniziale e l’altezza finale: questo rapporto è l’ingrandimento e viene indicato con G, uguale anche al rapporto tra di e d0 con il meno davanti :

\displaystyle G=\frac{{{h}_{i}}}{{{h}_{0}}}=-\frac{{{d}_{i}}}{{{d}_{0}}}

G non ci dà solo indicazioni sull’ingrandimento (G>1) o rimpicciolimento dell’immagine (0<G<1) ma ci dice anche se l’immagine è diritta o capovolta: se compare il segno meno davanti a G l’immagine è capovolta, altrimenti è diritta. Infine G, in quanto rapporto tra uguali grandezze, è adimensionale. Se troviamo per esempio G=0,24 sappiamo che l’immagine è rimpicciolita del 24% ed è diritta. Se G=-3,67 sappiamo invece che l’immagine è ingrandita del 367% ed è capovolta.

Riassumiamo quindi le convenzioni per gli specchi:

Distanza focale:

\displaystyle f>0 per gli specchi concavi

\displaystyle f<0 per gli specchi convessi

Ingrandimento (G):

\displaystyle G>0 per le immagini diritte

\displaystyle G<0 per le immagini capovolte

Distanza dell’immagine:

\displaystyle {{d}_{0}}>0 per immagini davanti allo specchio (immagini reali)

\displaystyle {{d}_{0}}<0 per le immagini dietro allo specchio (immagini virtuali)

Distanza dell’oggetto:

\displaystyle {{d}_{0}}>0 per immagini davanti allo specchio (oggetti reali)

\displaystyle {{d}_{0}}<0 per immagini dietro allo specchio (oggetti virtuali)

Il caso di \displaystyle {{d}_{0}}<0 si presenta nei sistemi di specchi e/o lenti quando, per esempio lo specchio 1 produce un’immagine che è dietro lo specchio 2: l’immagine in questione diventa l’oggetto per lo specchio 2 e diremo che l’immagine prodotta dallo specchio 1 è un oggetto virtuale per lo specchio 2.