Molle: l’energia potenziale

energia molle 1Per dimostrare come varia l’energia potenziale di una molla facciamo alcune osservazioni preliminari: sappiamo che il prodotto della forza per uno spostamento x indica il lavoro compiuto su un determinato oggetto: questo vale tuttavia se la forza applicata è costante. Il lavoro può però anche essere visto graficamente come rettangolo di lati F e x, la cui area è A=Fx. Siccome Fx=L abbiamo che A = L. Nelle due figure vediamo che suddividendo l’area in rettangoli, prima per difetto e poi per eccesso, e infine sommando le aree otteniamo un’approssimazione dell’area totale: più numerose sono le suddivisioni, più l’approssimazione tende al vero valore. Con suddivisioni che tendono ad infinito, le due successioni di somma di rettangoli per eccesso e per difetto tendono allo stesso limite e, siccome F=kx, ossia la forza aumenta linearmente con lo spostamento, il lavoro si può trovare mediante  un integrale. Applicando la proprietà degli integrali del prodotto di un integrale per una costante e trovando come primitiva \displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{2} per x, sostituendo x e 0 negli estremi di integrazione, troviamo che:

\displaystyle L=\int\limits_{0}^{x}{kxdx}\to L=k\int\limits_{0}^{x}{xdx\to }L=k\left[ \frac{{{x}^{2}}}{2} \right]_{0}^{x}

ossia

\displaystyle L=\frac{1}{2}k{{x}^{2}}

Siccome il lavoro compiuto nella compressione è uguale all’energia potenziale acquisita dalla molla, abbiamo che

energia molle 2\displaystyle U=\frac{1}{2}k{{x}^{2}}

Nella dimostrazione è stato utilizzato il calcolo integrale per maggiore chiarezza. Più intuitivamente possiamo dire che la forza media durante la compressione è \displaystyle {{F}_{media}}=\frac{kx}{2}, siccome essa aumenta linearmente, e quindi che il lavoro è:

\displaystyle L={{F}_{media}}x=\frac{kx}{2}x=\frac{1}{2}k{{x}^{2}}

Tuttavia, nelle molle reali la forza non aumenta linearmente con la forza, perciò dobbiamo sempre usare gli integrali.