Effetto Doppler

L’effetto Doppler è un fenomeno che coinvolge il cambiamento dell’acutezza di un suono quando la sorgente che lo produce si muove oppure quando noi ci muoviamo verso la sorgente. In particolare, quando osservatore e sorgente si avvicinano, il suono percepito dall’osservatore è più acuto del suono originale, mentre quando essi si allontanano uno dall’altro il suono ha un’acutezza minore del suono originale. L’effetto Doppler non vale tuttavia solo per le onde sonore, bensì per tutti i fenomeni che coinvolgono le onde: ad esempio le galassie che si spostano lontano dalla nostra mostrano una luce con frequenza inferiore alla loro originale (si parla perciò di red shift, o spostamento verso il rosso, infatti le onde visibili con frequenza più bassa sono le onde di colore rosso), mentre la luce delle galassie che si avvicinano mostrano uno spostamento verso il blu-viola (le onde visibili con frequenza maggiore), si parla perciò di blue shift.

Primo caso: sorgente fissa

Vediamo il primo caso: osservatore in movimento e sorgente ferma. La velocità di un’onda è sempre descritta dall’equazione vf. Quando un osservatore si dirige verso la sorgente con una velocità u il suono sembra avere una velocità maggiore, v+u per la precisione. Siccome λ resta invariata, troviamo che la nuova frequenza, che indicheremo con f1 è pari a:

\displaystyle {{f}_{1}}=\frac{{{v}_{1}}}{\lambda }=\frac{v+u}{\lambda }

Siccome λ=v/f troviamo che:

\displaystyle {{f}_{1}}=\frac{v+u}{\lambda }=\frac{v+u}{\frac{v}{f}}=f\frac{v+u}{v}=f\left( 1+\frac{u}{v} \right)

Possiamo quindi riassumere i nostri risultati sull’effetto Doppler per un osservatore in movimento come:

\displaystyle {{f}_{1}}=f\left( 1\pm \frac{u}{v} \right)

dove sceglieremo + quando la fonte del suono si sta avvicinando e – quando si allontana.

Secondo caso: emittente in movimento

Consideriamo ora il caso che coinvolge un osservatore fermo e una sorgente in movimento. In questo caso cambia la lunghezza d’onda del suono: infatti,dobbiamo contare che quando l’onda ha percorso un tratto pari a vT, la sorgente è avanzata di un tratto uT (con T indichiamo il periodo dell’onda e con u la velocità della sorgente). La compressione successiva viene emessa perciò ad una distanza vT-uT=T(v-u) dalla precedente: questa distanza corrisponde alla nuova lunghezza d’onda \displaystyle {{\lambda }_{1}}.

La velocità dell’onda è rimasta invariata perciò troviamo che \displaystyle v={{\lambda }_{1}}{{f}_{1}}, che può anche essere riscritta come \displaystyle {{f}_{1}}=v/{{\lambda }_{1}}. Dall’equazione \displaystyle {{\lambda }_{1}}=T(v-u) troviamo che:

\displaystyle {{f}_{1}}=\frac{v}{T(v-u)}=\frac{vf}{v-u}=f\frac{1}{1-\frac{u}{v}}

Se la sorgente si allontana dall’osservatore basta invertire il segno di u e troviamo che:

\displaystyle {{f}_{1}}=f\frac{1}{1+\frac{u}{v}}

Possiamo quindi riassumere l’effetto Doppler per una sorgente in moto come:

\displaystyle {{f}_{1}}=f\frac{1}{1\mp \frac{u}{v}}

Dimostreremo ora la forma generale, che tiene conto sia del moto della sorgente e dell’osservatore. Indicheremo perciò con \displaystyle {{u}_{0}} la velocità dell’osservatore e con \displaystyle {{u}_{s}} la velocità della sorgente. Sappiamo infatti che la nuova lunghezza d’onda, la nuova frequenza e la nuova velocità sono legate dalla relazione

\displaystyle {{v}_{1}}={{f}_{1}}{{\lambda }_{1}}

\displaystyle {{v}_{1}}, come abbiamo visto nella dimostrazione dell’effetto Doppler per la sorgente non è nient’altro che la velocità relativa e \displaystyle {{\lambda }_{1}} è pari a (v-u)T ed è indipendente dalla velocità relativa. Risolvendo quindi l’equazione sopra in funzione di \displaystyle {{f}_{1}} troviamo che

\displaystyle {{f}_{1}}=\frac{{{v}_{1}}}{{{\lambda }_{1}}}=\frac{\left( v\pm {{u}_{0}} \right)}{\left( v\mp {{u}_{s}} \right)T}=f\frac{v\pm {{u}_{0}}}{v\mp {{u}_{s}}}

Dividendo numeratore e denominatore per v, ossia la velocità del suono troviamo la formula finale dell’effetto Doppler per osservatore e sorgente in moto:

\displaystyle {{f}_{1}}=f\frac{1\pm \frac{{{u}_{0}}}{v}}{1\mp \frac{{{u}_{s}}}{v}}

Le applicazioni dell’effetto Doppler sono molte: dall’astronomia, per determinare la velocità di una galassia mediante red o blue shift, come abbiamo già detto prima, alla meteorologia per seguire il moto delle precipitazione dei temporali, alla medicina dove un fascio di ultrasuoni è diretto nell’arteria di un paziente per misurare la velocità del flusso sanguigno, infatti gli ultrasuoni vengono riflessi indietro con una velocità che dipende dalla velocità delle particelle nel sangue: la frequenza degli ultrasuoni è modificata per effetto Doppler e combinando la nuova frequenza con quella originale è possibile ricavare la velocità del sangue.