Conservazione dell’energia

Ora vedremo come applicare la conservazione dell’energia trascurando le forze non conservative (come l’attrito). Partiamo ad esempio da una massa m attaccata ad una molla: l’energia totale della molla è la somma dell’energia cinetica della massa e di quella potenziale della molla.

\displaystyle E=K+U=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}+\frac{1}{2}k{{x}^{2}}

Ovviamente la massa ha la sua massima velocità quando la molla non ha energia potenziale, ossia ha la sua lunghezza di riposo, e velocità nulla quando la molla raggiunge la sua massima compressione.

Partiamo dall’energia potenziale della molla:

\displaystyle U=\frac{1}{2}k{{x}^{2}}

Siccome dalle leggi del moto armonico sappiamo che \displaystyle x=Acos(\omega t) troviamo che:

\displaystyle U=\frac{1}{2}k{{A}^{2}}{{\cos }^{2}}\left( \omega t \right)

La massima energia potenziale della molla è perciò \displaystyle \frac{1}{2}k{{A}^{2}}, che rappresenta anche l’energia totale: come abbiamo osservato prima, quando l’energia potenziale della molla è massima, l’energia cinetica della massa è nulla.

Avremmo potuto giungere alla stessa conclusione partendo dall’energia cinetica della massa:

\displaystyle K=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}

Sappiamo anche che \displaystyle v=-A\omega sen(\omega t) quindi sostituendo otteniamo:

\displaystyle K=\frac{1}{2}m{{A}^{2}}{{\omega }^{2}}se{{n}^{2}}(\omega t)

Quindi il massimo valore dell’energia cinetica della massa è:

\displaystyle K=\frac{1}{2}m{{A}^{2}}{{\omega }^{2}}

Per la conservazione dell’energia abbiamo che la massima energia potenziale della molla deve essere uguale alla massima energia cinetica della massa:

\displaystyle {{K}_{\max }}={{U}_{\max }}

\displaystyle \frac{1}{2}m{{A}^{2}}{{\omega }^{2}}=\frac{1}{2}k{{A}^{2}}    [1]

Siccome \displaystyle \omega =\sqrt{\frac{k}{m}}\to {{\omega }^{2}}=\frac{k}{m}

Sostituendo quest’ultima relazione nell’equazione [1] troviamo l’identità

\displaystyle \frac{1}{2}k{{A}^{2}}=\frac{1}{2}k{{A}^{2}}