Cinematica rotazionale

Le formule della cinematica rotazionale sono in stretta analogia con quella della cinematica lineare. Ad esempio, sappiamo che \displaystyle \alpha =\frac{\Delta \omega }{\Delta t}, ossia \displaystyle \alpha =\frac{{{\omega }_{f}}-{{\omega }_{i}}}{\Delta t}. Risolvendo rispetto a \displaystyle {{\omega }_{f}} troviamo che:

\displaystyle {{\omega }_{f}}={{\omega }_{i}}+\alpha \Delta t

Quest’equazione è molto simile all’equazione \displaystyle {{v}_{f}}={{v}_{i}}+\alpha \Delta t: abbiamo semplicemente sostituito alle grandezze della cinematica lineare quelle della cinematica rotazionale. Riassumendo queste corrispondenze tra le grandezze lineari e quelle angolari:

Grandezze lineari Grandezze rotazionali
Posizione x θ
Velocità V ω
Accelerazione a α

 

Per ricavare quindi le equazioni principali della cinematica rotazionale basta sostituire le grandezze rotazionali corrispondenti a quelle lineari. Ad esempio l’equazione \displaystyle v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a\Delta x, nella cinematica rotazionale sarà semplicemente:

\displaystyle \omega _{f}^{2}=\omega _{i}^{2}+2\alpha \Delta \theta

Ora esamineremo la relazione tra la velocità tangenziale di un oggetto che ruota a una distanza r dal centro di rotazione e la velocità angolare: per esempio bambini su una giostra a differente distanza dal centro hanno la stessa velocità angolare, che come abbiamo visto non dipende da r, ma hanno tuttavia una diversa velocità tangenziale.
Se il bambino deve percorrere una traiettoria circolare di lunghezza pari a 2πr (la misura della circonferenza di raggio r) in un tempo T pari al periodo, la sua velocità deve essere quindi pari a :

\displaystyle v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{2\pi r}{T}

Siccome \displaystyle \frac{2\pi }{T}=\omega  troviamo la relazione tra ω e v:

\displaystyle v=\omega r

Notiamo quindi che la velocità tangenziale cresce linearmente con l’aumentare del raggio. Un esempio di questa dipendenza del raggio può essere vista mediante l’uso di una macchina fotografica il cui otturatore è rimasto aperto per lungo tempo:

notte2

 In questa foto la macchina fotografica ha ritratto il moto apparente delle stelle, in realtà fisse: come possiamo vedere, anche se lo spostamento angolare di ogni stella è uguale per tutte le altre, così non è per lo spostamento lineare che possiamo notare dalle tracce luminose: le stelle più lontane dal centro hanno infatti lasciato una scia decisamente maggiore di quelle vicine a esso, in quanto, a parità di tempo, le stelle più lontane hanno percorso un arco di circonferenza maggiore secondo la relazione Δx=vΔt=ωrΔt.

Consideriamo ora l’accelerazione centripeta di un moto rotazionale: sappiamo già che \displaystyle {{a}_{cp}}&s=-2, ossia l’accelerazione centripeta è pari a :

\displaystyle {{a}_{cp}}=\frac{v_{{}}^{2}}{r}

Siccome v=ωr troviamo che l’equazione per l’accelerazione centripeta può anche essere riscritta come:

\displaystyle {{a}_{cp}}=\frac{\left( \omega r \right)_{{}}^{2}}{r}=r\omega _{{}}^{2}

Se vogliamo poi trovare la relazione tra l’accelerazione tangenziale e quella angolare α abbiamo che:

\displaystyle a=\frac{\Delta v}{\Delta t}

Siccome v=ωr troviamo che:

\displaystyle \frac{r\Delta \omega }{\Delta t}   [1]

Siccome abbiamo definito α come \displaystyle \alpha =\frac{\Delta \omega }{\Delta t} basta che sostituiamo questa relazione nell’equazione [1] trovando che:

\displaystyle a=\alpha r

Questa è l’accelerazione tangenziale dovuta a una variazione del modulo della velocità angolare ω da non confondere con l’accelerazione centripeta, che è causata invece da un variazione di direzione del moto. A questo punto possiamo trovare l’accelerazione totale in un moto circolare con sia accelerazione tangenziale che centripeta: l’accelerazione tangenziale è diretta parallelamente al vettore velocità tangenziale mentre l’accelerazione centripeta è diretta verso il centro della circonferenza: questo significa che l’angolo tra i due vettori accelerazione è 90°. Per trovare perciò l’accelerazione totale basta applicare il teorema di Pitagora:

\displaystyle {{a}_{tot}}=\sqrt{a_{cp}^{2}+a_{{}}^{2}}

Per trovare invece la direzione dell’accelerazione totale, ossia che angolo γ il vettore accelerazione totale forma con il vettore velocità tangenziale applichiamo la definizione di tangente:

\displaystyle tg\gamma =\frac{{{a}_{cp}}}{a} e quindi

\displaystyle \gamma =arctg\left( \frac{{{a}_{cp}}}{a} \right)